Нечеткая логика, нечеткие операторы, применение нечёткой логики, понятия нечеткой логики, универсум, логические операции


Добавил:DMT
Дата создания:22 июня 2008, 20:19
Дата обновления:22 июня 2008, 22:17
Просмотров:20778 последний сегодня, 22:02
Комментариев: 0

НЕЧЕТКАЯ ЛОГИКА

          Многие понятия, определяемые с помощью человеческого языка, являются расплывчатыми. Например, попытка дать определение кучи камней приводит к следующей антиномии: “Один или два камня – не куча; с другой стороны, если из кучи удалить камень, то куча останется”.
          Л. Заде предложил приписывать объектам степень выполнения определяемого свойства, принимающую значения в единичном интервале [0, 1]. Эта идея была положена в основу теории нечетких множеств. Она позволила моделировать человеческие рассуждения и операции над нечеткими свойствами объектов.

Теги: Нечеткая логика, нечеткие операторы, применение нечёткой логики, понятия нечеткой логики, универсум, логические операции

1. Нечеткие множества

         Пусть U – произвольное множество. Будем рассматривать его подмножества и U будем называть универсумом. Каждое подмножество описывается с помощью свойств его элементов. Например, в универсуме натуральных чисел w подмножество {0, 1, 2, 3, 4, 5} задаётся как

A = {n О w : n Ј 5}.
Его можно определить с помощью характеристической функции cA : w ® (0, 1), принимающей значения:
          Проблема возникает при попытке определения подмножества чисел, указывающих значение возраста, при которых человек считается старым.
          Пусть [0, 1] = {r О R : 0 Ј r Ј 1} – единичный отрезок действительных чисел.
          Определение. Нечетким множеством m на универсуме U называется произвольная функция m : U ® [0, 1]. Множество всех нечетких множеств на U обозначается через F(U).
          Заметим, что часто понятия нечёткого множества и определяющей его функции различают. В этом случае, говоря о нечётком множестве A, имеют в виду функцию U ® [0, 1]. Обозначают эту функцию через mA О F(U) и называют её функцией принадлежности.
         Значение m(x) называется степенью принадлежности x нечеткому множеству m. Например, нечеткое множество “старый” определяется как функция m О F(w), для которой m(70) = 1, а m(0) = 0, ибо ясно, что человек семидесяти лет является старым, а не достигнувший одного года младенец – нет. Можно считать, что m(20) = 0. Возрасту 45 лет можно приписать значение m(45) = 0.5, и далее продолжить функцию m линейно на интервале [20, 70].
          Представление нечетких множеств
          Существуют различные методы описания функции m : U ® [0, 1]. Если U – конечное множество, то функция будет конечным множеством пар:
             m = {(x1, m(x1)), …, (xn, m(xn))}.
и может быть записана как
             m = m(x1)/x1 + … + m(xn)/xn
или в виде таблицы:

x1

x2

...

xn

m(x1)

m(x2)

...

m(xn)

         

В случае универсума R действительных чисел m(x) задаётся аналитически и изображается в виде графика. Например, m(x) = e -(x - a)2 / b2 будет гауссианой, с m(a) = 1. Лингвистическое выражение “большое число” обозначает понятие, зависящее от параметров, и может быть интерпретировано с помощью функции:
            
          Определение. Пусть m О F(U) и a О [0, 1]. Множество [m] a = {x О U : m(x) і a} называется a -срезом нечеткого множества m.

      Теорема 1. Пусть m О F(U), a О [0, 1], b О [0, 1]. Тогда
          1) [m] 0 = U
          2) если a < b, то [m] a К [m] b,
          3) .

Теги: Нечеткая логика, нечеткие операторы, применение нечёткой логики, понятия нечеткой логики, универсум, логические операции


      Теорема 2 (о представлении). Пусть m О F(U). Тогда

.
          Нечеткие множества m1, m2 О F(U) называются равными, если m1(x) = m2(x) для всех x О U; m1 называется нечетким подмножеством m2, если m1(x) Ј m2(x) для всех x О U, в этом случае применяется запись: m1 Н m2.
          Операции над нечеткими множествами
          Пусть m1, m2, m О F(U). Операции определяются следующим образом:
             (дополнение);
             (пересечение);
             (объединение);
             (ограниченное произведение);
             (ограниченная сумма);
             (алгебраическое произведение);
             (алгебраическая сумма);
             (разность);
             (концентрирование).
          Поскольку каждое нечеткое множество m можно представить как семейство a-срезов, то операции можно выразить через обычные операции над множествами. В частности:
             (дополнение);
             (пересечение);
             (объединение);
         Принцип обобщения
          Произвольная функция j : X n ® Y между множествами может быть расширена до функции j : F(X)n ® F(Y) следующим образом:
             .
Этот метод расширения называется принципом обобщения. Предполагается, что супремум пустого множества равен 0. С помощью принципа обобщения можно расширить операцию сложения + : R ґ R ® R, полагая для любых m1, m2 О F(R):
            
        Нечеткое множество m О F(R) называется выпуклым, если все его a-срезы выпуклы. Легко видеть, что сумма m1 + m2 нечётких выпуклых множеств m1 и m2 из R будет выпуклой.

Теги: Нечеткая логика, нечеткие операторы, применение нечёткой логики, понятия нечеткой логики, универсум, логические операции


2. Логические операции

          Рассмотрим расширения определённых на множестве {0, 1} логических операций &, Ъ, Ш, ® на интервал [0, 1].
          Конъюнкция и дизъюнкция
          Операция логического умножения обобщается следующим образом:
        Функция Щ : [0,1] ґ [0,1] ® [0,1] называется треугольной нормой, если для всех a, b, c О [0, 1] справедливы соотношения
           1) a Щ 1 = a (1 – единица);
           2) если a Ј b, то a Щ c Ј b Щ c (монотонность);
           3) a Щ b = b Щ a (коммутативность);
           4) (a Щ b) Щ с = a Щ (b Щ c) (ассоциативность).
          Заметим, что, в силу неравенств 0 Ј 0Щx Ј 0Щ1 = 0, имеет место: 0 Щ x = 0.
          Наиболее часто используются следующие треугольные нормы:
           1) a З b = min(a, b) (Заде);
           2) a * b = max(0, a + b – 1) (Лукасевич);
           3) a Ч b = ab (произведение чисел).
Аналогично обобщается логическая сумма.
          Функция Ъ : [0,1] ґ [0,1] ® [0,1] называется треугольной конормой, если для всех a, b, c О [0, 1] справедливы соотношения:
           1) 0 Ъ a = a (0 – нуль);
           2) если a Ј b, то a Ъ c Ј b Ъ c (монотонность);
           3) a Ъ b = b Ъ a (коммутативность);
           4) (a Ъ b) Ъ с = a Ъ (b Ъ c) (ассоциативность).
          Примеры треугольных конорм:
           1) a И b = max(a, b) (Заде);
           2) a Ъ b = min(a + b, 1) (Лукасевич);
           3) a Ъ b = a + bab (алгебраическая сумма).
          Отрицание
          Наиболее общее определение функции отрицания   g : [0,1] ® [0,1] предполагает, что выполнены, по крайней мере, два условия:
           1) g(0) = 1; g(1) = 0;
           2) если a Ј b, то g(a) і g(b).
          Примеры отрицаний:
           1) (Заде);
           2) (квадратичное отрицание);
           3) (пороговое отрицание);
           4) , -1 < l < Ґ (Сугено).
          Две операции Щ и Ъ называются g -двойственными, если

и .
          Например, операции:
и
g2 - двойственны (относительно отрицания Сугено).
        Импликация
          Пусть Щ – треугольная норма. Импликацией (a ® b) О [0, 1], связанной с Щ , называется такое число, что для всех x О [0, 1] справедлива следующая эквивалентность:
x Ј (a ® b), если и только если x Щ a Ј b.
В силу монотонности треугольной нормы значение импликации будет равно:
a ® b = sup{x О [0, 1] : x Щ a Ј b}.
          Примеры импликаций
           1) Cвязанной с треугольной нормой Лукасевича будет импликация:
a ® b = min{1 – a + b, 1}.
           2) C треугольной нормой заде связана импликация Гёделя:
           3) C произведением a Ч b чисел связана импликация Гогена:
          Оператор импликации не всегда связан с треугольной нормой. В частности, импликация Клини-Дайнса определяется по формуле:Шa Ъ b, через операцию a Ъ b = max(a, b):
a ® b = max(1 - a, b).
          Аналогичным образом, с помощью формулы Шa Ъ b определяется импликация Райхенбаха, где a Ъ b = a + bab сложение вероятностей:
a ® b = 1 – a + ab.
          Импликация Заде аналогична последней:
a ® b = max(1 – a, min(a, b)).
Заметим, что во всех этих случаях отрицание можно определить как Шa = a ® 0.

Теги: Нечеткая логика, нечеткие операторы, применение нечёткой логики, понятия нечеткой логики, универсум, логические операции


3. Нечеткие отношения

          Напомним, что отношением между множествами U1, U2, …, Un называется произвольное подмножество R Н U1 ґ U2 ґґ Un. Поскольку отношение может быть задано с помощью предиката (характеристической функции этого подмножества), то естественным является следующее определение.
          Пусть U1, U2, …, Un – универсумы. Нечетким отношением между U1, U2, …, Un называется произвольная функция r : U1 ґґ Un ® [0,1]. Аналогично теоретико-множественным операциям определяются операции пересечения и объединения. Ограничимся рассмотрением нечетких бинарных отношений r, s О F(X ґ Y). Положим:
             (r И s)(x, y) = max(r(x, y), s(x, y)), (r З s)(x, y) = min(r(x, y), s(x, y)).
Эти операции обладают всеми свойствами операций max и min, они коммутативны, ассоциативны, дистрибутивны.
          Множество F(X ґ Y) отношений между X и Y упорядочено относительно отношения включения нечетких множеств на X ґ Y. Таким образом, r Н s тогда и только тогда, когда r(x, y) Ј s(x, y) для всех x О X и y О Y.

          Пусть r О F(X ґ Y) и s О F(Y ґ Z). Определим композицию r ° s О F(Y ґ Z) как (r ° s)(x, z) = sup{min(r(x, y), s(y, z)) : y О Y}. Имеют место соотношения:
           1) (r ° s) ° t = r ° (s ° t),
           2) r ° Ex = Ey ° r = r,
где Ex О F(X ґ X) принимает значения Ex(x, x') = 1 при x = x', в других случаях E(x, x') = 0.
          Обратное нечёткое отношение определяется как r -1(y, x) = r(y, x), для всех x О X, y О Y.
          Нечёткое отношение r О F(X ґ Y) называется рефлексивным, если Ex Н r. Нечётким отношением эквивалентности называется E О F(X ґ X), удовлетворяющее условиям:
           1) Ex Н E (рефлексивность);
           2) E -1 = E (симметричность);
           3) E ° E Н E (транзитивность).
          Если условие 2 заменить на условие антисимметричночти E -1 З E Н Ex, то получим нечёткое отношение порядка.
          Заметим, что композицию можно определить с помощью произвольной треугольной нормы, полагая:
             r ° s = sup{r(x, y) Щ s(y, z) : y О Y}.
Так мы получим другие определения отношений эквивалентности и порядка.

Теги: Нечеткая логика, нечеткие операторы, применение нечёткой логики, понятия нечеткой логики, универсум, логические операции

4. Пропозициональная нечёткая логика

          Формулы пропозициональной нечёткой логики составляются из элементов множества переменных F0 = {x1, x2, ...} и констант 0 (ложь) и 1 (истина) с помощью логических связок Ъ, Щ, Ш следующим образом:
           1) xi О F0 формулы для всех i = 1, 2, …;
           2) 0 и 1 – формулы;
           3) если g и f – формулы, то (f Щ g) и (f Ъ g) – формулы;
           4) если f – формула, то Шf – формула.
Множество всех формул обозначается через F.
          Аксиомы нечёткой пропозициональной логики:
             (F1) Ш0 = 1,
             (F2) A Щ 1 = A, A Ъ 1 = 1, A Щ 0 = 0, A Ъ 0 = A,
             (F3) Ш(A Щ B) = ШA Ъ ШB, Ш(A Ъ B) = ШA Щ ШB,
             (F4) A Щ (B Ъ C) = (A Щ B) Ъ (A Щ C), A Ъ (B Щ C) = (A Ъ B) Щ (A Ъ C),
             (F5) ШШA = A,
для всех A, B, C О F.
         Нечёткой интерпретацией называется произвольная функция t : F ® [0, 1], такая, что
             t(0) = 0, t(1) =1, t(f Щ g) = min(t(f), t(g)),
             t(f Ъ g) = max(t(f), t(g)), t(Шf) = 1 – t(f).
          Любая функция t0 : F0 ® [0, 1] может быть единственным образом расширена до некоторой интерпретации t : F ® [0, 1].
         Формула f О F называется нечётко общезначимой, если для любой нечёткой интерпретации t верно неравенство t(f) і 0.5. Формула f О F называется нечётко противоречивой, если для любой нечёткой интерпретации t верно неравенство: t(f) Ј 0.5.
          Например, формула x1 Ъ Шx1 нечётко общезначима, а x1 Щ Шx1 – нечётко противоречива.

Теги: Нечеткая логика, нечеткие операторы, применение нечёткой логики, понятия нечеткой логики, универсум, логические операции


      Теорема 1. Формула f О F нечётко общезначима тогда и только тогда, когда f – тавтология в исчислении высказываний K. Формула f О F нечётко противоречива тогда только тогда, когда она невыполнима в K.
         Литералом называется переменная xi или её отрицание Шxi. Конъюнкция литералов называется конъюнктом, дизъюнкция литералов – дизъюнктом.
          Например: x1 Щ x2 Щ Шx2 – конъюнкт, Шx1 Ъ x3 – дизъюнкт.
          Формула f О F называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ), если f = C1  Ъ C2   Ъ ...  Ъ Cm для некоторых конъюнктов C1, C2, ..., Cm. Аналогично конъюнкция D1 Щ D2  Щ ...  Щ Dm дизъюнктов D1, D2, ..., Dm называется конъюнктивной нормальной формой (КНФ).
          Аксиомы пропозициональной нечёткой логики позволяют переводить любую формулу в ДНФ и в КНФ, в которых не участвуют константы 0 и 1.
         Нечёткой импликацией f Ю g называется бинарное отношение на F, означающее, что для любой нечёткой интерпретации t : F ® [0, 1] верно неравенство t(f) Ј t(g).
         Принцип резолюции
          Формула f называется содержащей дополнительные переменные, если в ней участвуют литералы xi и Шxi для некоторого i О w. Пусть C1 = xi Ъ L1 и C2 = Шxi Ъ L2 – такие высказывания, что L1 и L2 не содержат ни xi, ни Шxi в качестве сомножителя, и каждое из L1 и не содержит дополнительных переменных. Тогда L1 Ъ L2 называется резольвентой C1 и C2 с ключевым словом xi и обозначается: R(C1, C2). В обычной логике принцип резолюции:
             x Ъ L1, Шx Ъ L2 L1 Ъ L2
можно применять для доказательства теорем. Следующий пример показывает, что нечёткая импликация:

C1 Щ C2 Ю R(C1, C2)
не всегда верна.

      Пример
          C1 = x Ъ L1, C2 = Шx Ъ L2. Предположим, что при некоторой интерпретации t(x) = 0.3, t(L1) = 0.1, t(L2) = 0.2. Тогда t(C1) = 0.3, t(C2) = 0.7. Следовательно, t(C1 Щ C2) = 0.3. С другой стороны, t(R(C1, C2)) = t(L1 Ъ L2) = 0.2, и, значит, t(C1 Щ C2) > t(R(C1, C2)). Тем не менее, в некоторых случаях этот принцип применять можно.

      Теорема 2. Пусть C1 и C2 – высказывания, R(C1, C2) – резольвента C1 и C2 с ключевым словом xi. Тогда справедливы утверждения:
           1) если t(xi Щ Шxi) Ј t(R(C1, C2)), то t(C1, C2) Ј t(R(C1, C2));
           1) если t(xi Щ Шxi) і t(R(C1, C2)), то t(C1, C2) і t(R(C1, C2)).
В частности, если
R(C1, C2) нечётко общезначима в том смысле, что t(R(C1, C2)) і 0.5, то t(xi Щ Шxi) Ј 0.5 Ј t(R(C1, C2)) , и значит C1 Щ C2 Ю R(C1, C2).

Теги: Нечеткая логика, нечеткие операторы, применение нечёткой логики, понятия нечеткой логики, универсум, логические операции

Вывод с нечёткими посылками

          При дедуктивном выводе можно применять два правила вывода. Первое из них мы уже рассматривали, а второе выражает принцип доказательства от противного:

(Modus Ponens), (Modus Tollens).

Рассмотрим применение этих правил для нечёткого дедуктивного вывода.
         

Теги: Нечеткая логика, нечеткие операторы, применение нечёткой логики, понятия нечеткой логики, универсум, логические операции

Нечёткие переменные
          Пусть U – множество, A Н U – подмножество, элементы которого выделяются с помощью некоторого свойства, определяемого с помощью характеристической функции cA : U ® (0, 1). Тогда высказывание: “X принимает значения во множестве A” – означает, что переменная X пробегает значения из U, и это высказывание будет принимать значения, равные cA(X). Это высказывание записывается: “X есть A”, например, если U = w , а A – подмножество чётных чисел, то запись: “X есть чётное число” будет равносильна X О A.
        Нечёткая переменная определяется как пара, состоящая из символа переменной X, принимающей значения в U, и некоторого множества A, заданного с помощью функции mA : U ® [0, 1]. Эта пара записывается: “X есть A”. На обычном языке X будет именем элементов универсума, а A – нечётким свойством. Например, “температура нормальная” содержит переменную “температура”, принимающую значения в универсуме температур, а “нормальная” будет их нечётким свойством.
         Рассмотрим множество составных высказываний, образованных из высказываний: “X есть A” с помощью союзов “и”, “или”, и связок “если…, то…”, “не” – следующим образом:
           1) “X есть A и Y есть B” равносильно “(X, Y) есть A З B”, с mA О F(U), mB О F(V), где A З B – нечёткое множество на U ґ V с функцией принадлежности mAЗB(u, v) = (mA(u) Щ mB(v));
           2) “X есть A или Y есть B” равносильно “(X, Y) есть A И B”, где mAИB(u, v) = (mA(u) Ъ mB(v));
           3) “если X есть A, то Y есть B” равносильно “(X, Y) есть A ® B”, где mA®B(u, v) = (mA(u) ® mB(v));
           4) “X не есть A” равносильно “X есть не A”, где mне A(u) = 1 - mA(u).
         

Теги: Нечеткая логика, нечеткие операторы, применение нечёткой логики, понятия нечеткой логики, универсум, логические операции

Правила нечёткого вывода
          Пусть Щ : [0,1] ґ [0,1] ® [0,1] – треугольная форма, и пусть импликация связана с ней следующим образом:

a ® b = sup{x О [0, 1] : a Щ x Ј b}.
          Например, если a Щ b = min(a, b), то a ® b будет импликацией Геделя. Для треугольной нормы Лукасевича a Щ b = a * b = max(0, a + b +1) импликация определяется как a ® b = min(1, 1 - a + b).
          Обобщённое правило Modus Ponens было предложено Л. Заде. Пусть заданы нечёткие множества A, B, A' с помощью функций: mA О F(U), mB О F(V), mA' О F(U). Тогда будет справедливо правило вывода:
Если X есть A, то Y есть B
,
где нечёткое множество B' определяется функцией mB' О F(V), принимающей значения: mB' = sup{(mA(u) ® mB(v)) Щ mA'(u) : u О U}.
          Нечеткое множество B' можно записать также, пользуясь аналогией с произведением матриц B' = A' o (A ® B) ,и записать B' и A', как строки (вместо сложения участвует операция sup, вместо умножения – треугольная норма).
          Аналогично для нечётких множеств A, B, B', заданных с помощью функций mA О F(U), mB О F(V), mB' О F(V), обобщённое правило Modus Tollens определяется следующим образом:
Если X есть A, то Y есть B
.
         

Это правило выражается с помощью равенства:
             mA'(u) = sup{(mA(u) ® mB(v)) Щ mB'(v) : v О V},
если импликация удовлетворяет закону контрапозиции a ® b = (1 - b) ® (1 - a). Это верно, например, для треугольной формы Лукасевича и связанной с ней импликацией.

Теги: Нечеткая логика, нечеткие операторы, применение нечёткой логики, понятия нечеткой логики, универсум, Логические операции

up