Нечеткая логика, нечеткие операторы, применение нечёткой логики, понятия нечеткой логики, универсум, логические операции

Добавил:

DMT

Дата создания:

22 июня 2008, 20:19

Дата обновления:

22 июня 2008, 22:17

Просмотров:

24119 последний сегодня, 18:02

Комментариев:

НЕЧЕТКАЯ ЛОГИКА

Многие понятия, определяемые с помощью человеческого языка, являются расплывчатыми. Например, попытка дать определение кучи камней приводит к следующей антиномии: “Один или два камня – не куча; с другой стороны, если из кучи удалить камень, то куча останется”.
Л. Заде предложил приписывать объектам степень выполнения определяемого свойства, принимающую значения в единичном интервале [0, 1]. Эта идея была положена в основу теории нечетких множеств. Она позволила моделировать человеческие рассуждения и операции над нечеткими свойствами объектов.

Теги: Нечеткая логика, нечеткие операторы, применение нечёткой логики, понятия нечеткой логики, универсум, логические операции

1. Нечеткие множества

Пусть U – произвольное множество. Будем рассматривать его подмножества и U будем называть универсумом. Каждое подмножество описывается с помощью свойств его элементов. Например, в универсуме натуральных чисел w подмножество {0, 1, 2, 3, 4, 5} задаётся как

A = {n О w : n Ј 5}.

Его можно определить с помощью характеристической функции c_A : w ® (0, 1), принимающей значения:

          Проблема возникает при попытке определения подмножества чисел, указывающих значение возраста, при которых человек считается старым.
          Пусть [0, 1] = {r О R : 0 Ј r Ј 1} – единичный отрезок действительных чисел.
          Определение. Нечетким множеством m на универсуме U называется произвольная функция m : U ® [0, 1]. Множество всех нечетких множеств на U обозначается через F(U).
          Заметим, что часто понятия нечёткого множества и определяющей его функции различают. В этом случае, говоря о нечётком множестве A, имеют в виду функцию U ® [0, 1]. Обозначают эту функцию через m_A О F(U) и называют её функцией принадлежности.
         Значение m(x) называется степенью принадлежности x нечеткому множеству m. Например, нечеткое множество “старый” определяется как функция m О F(w), для которой m(70) = 1, а m(0) = 0, ибо ясно, что человек семидесяти лет является старым, а не достигнувший одного года младенец – нет. Можно считать, что m(20) = 0. Возрасту 45 лет можно приписать значение m(45) = 0.5, и далее продолжить функцию m линейно на интервале [20, 70].
          Представление нечетких множеств
          Существуют различные методы описания функции m : U ® [0, 1]. Если U – конечное множество, то функция будет конечным множеством пар:
           m = {(x₁, m(x₁)), …, (x_n, m(x_n))}.
и может быть записана как
             m = m(x₁)/x₁+ … + m(x_n)/x_n
или в виде таблицы:

x₁	x₂	...	x_n
m(x₁)	m(x₂)	...	m(x_n)

В случае универсума R действительных чисел m(x) задаётся аналитически и изображается в виде графика. Например, m(x) = e^{-(x - a)² / b²} будет гауссианой, с m(a) = 1. Лингвистическое выражение “большое число” обозначает понятие, зависящее от параметров, и может быть интерпретировано с помощью функции:

          Определение. Пусть m О F(U) и a О [0, 1]. Множество [m]_a = {x О U : m(x) і a} называется a -срезом нечеткого множества m.

      Теорема 1. Пусть m О F(U), a О [0, 1], b О [0, 1]. Тогда
          1) [m]₀= U
          2) если a < b, то [m]_a К [m]_b,
          3) .

Теорема 2 (о представлении). Пусть m О F(U). Тогда

          Нечеткие множества m₁, m₂ О F(U) называются равными, если m₁(x) = m₂(x) для всех x О U; m₁ называется нечетким подмножеством m₂, если m₁(x) Ј m₂(x) для всех x О U, в этом случае применяется запись: m₁ Н m₂.
          Операции над нечеткими множествами
          Пусть m₁, m₂, m О F(U). Операции определяются следующим образом:

(дополнение);

(пересечение);

(объединение);

(ограниченное произведение);

(ограниченная сумма);

(алгебраическое произведение);

(алгебраическая сумма);

(разность);

(концентрирование).
Поскольку каждое нечеткое множество m можно представить как семейство a-срезов, то операции можно выразить через обычные операции над множествами. В частности:

(дополнение);

(пересечение);

(объединение);
         Принцип обобщения
          Произвольная функция j : Xⁿ ® Y между множествами может быть расширена до функции j : F(X)ⁿ ® F(Y) следующим образом:

.
Этот метод расширения называется принципом обобщения. Предполагается, что супремум пустого множества равен 0. С помощью принципа обобщения можно расширить операцию сложения + : R ґ R ® R, полагая для любых m₁, m₂ О F(R):

Нечеткое множество m О F(R) называется выпуклым, если все его a-срезы выпуклы. Легко видеть, что сумма m₁ + m₂ нечётких выпуклых множеств m₁ и m₂ из R будет выпуклой.

2. Логические операции

          Рассмотрим расширения определённых на множестве {0, 1} логических операций &, Ъ, Ш, ® на интервал [0, 1].
          Конъюнкция и дизъюнкция
          Операция логического умножения обобщается следующим образом:
        Функция Щ : [0,1] ґ [0,1] ® [0,1] называется треугольной нормой, если для всех a, b, c О [0, 1] справедливы соотношения
           1) a Щ 1 = a (1 – единица);
           2) если a Ј b, то a Щ c Ј b Щ c (монотонность);
           3) a Щ b = b Щ a (коммутативность);
           4) (a Щ b) Щ с = a Щ (b Щ c) (ассоциативность).
          Заметим, что, в силу неравенств 0 Ј 0Щx Ј 0Щ1 = 0, имеет место: 0 Щ x = 0.
          Наиболее часто используются следующие треугольные нормы:
           1) a З b = min(a, b) (Заде);
           2) a * b = max(0, a + b – 1) (Лукасевич);
           3) a Ч b = ab (произведение чисел).
Аналогично обобщается логическая сумма.
          Функция Ъ : [0,1] ґ [0,1] ® [0,1] называется треугольной конормой, если для всех a, b, c О [0, 1] справедливы соотношения:
           1) 0 Ъ a = a (0 – нуль);
           2) если a Ј b, то a Ъ c Ј b Ъ c (монотонность);
           3) a Ъ b = b Ъ a (коммутативность);
           4) (a Ъ b) Ъ с = a Ъ (b Ъ c) (ассоциативность).
          Примеры треугольных конорм:
           1) a И b = max(a, b) (Заде);
           2) a Ъ b = min(a + b, 1) (Лукасевич);
           3) a Ъ b = a + b – ab (алгебраическая сумма).
          Отрицание
          Наиболее общее определение функции отрицания g : [0,1] ® [0,1] предполагает, что выполнены, по крайней мере, два условия:
           1) g(0) = 1; g(1) = 0;
           2) если a Ј b, то g(a) і g(b).
          Примеры отрицаний:
           1) (Заде);
           2) (квадратичное отрицание);
           3) (пороговое отрицание);
           4) , -1 < l < Ґ (Сугено).
          Две операции Щ и Ъ называются g -двойственными, если

Например, операции:

g₂ - двойственны (относительно отрицания Сугено).
Импликация
Пусть Щ – треугольная норма. Импликацией (a ® b) О [0, 1], связанной с Щ , называется такое число, что для всех x О [0, 1] справедлива следующая эквивалентность:

x Ј (a ® b), если и только если x Щ a Ј b.

В силу монотонности треугольной нормы значение импликации будет равно:

a ® b = sup{x О [0, 1] : x Щ a Ј b}.

Примеры импликаций
1) Cвязанной с треугольной нормой Лукасевича будет импликация:

a ® b = min{1 – a + b, 1}.

2) C треугольной нормой заде связана импликация Гёделя:

3) C произведением a Ч b чисел связана импликация Гогена:

Оператор импликации не всегда связан с треугольной нормой. В частности, импликация Клини-Дайнса определяется по формуле:Шa Ъ b, через операцию a Ъ b = max(a, b):

a ® b = max(1 - a, b).

Аналогичным образом, с помощью формулы Шa Ъ b определяется импликация Райхенбаха, где a Ъ b = a + b – ab сложение вероятностей:

a ® b = 1 – a + ab.

Импликация Заде аналогична последней:

a ® b = max(1 – a, min(a, b)).

Заметим, что во всех этих случаях отрицание можно определить как Шa = a ® 0.

3. Нечеткие отношения

          Напомним, что отношением между множествами U₁, U₂, …, U_n называется произвольное подмножество R Н U₁ ґ U₂ ґ …ґ U_n. Поскольку отношение может быть задано с помощью предиката (характеристической функции этого подмножества), то естественным является следующее определение.
          Пусть U₁, U₂, …, U_n – универсумы. Нечетким отношением между U₁, U₂, …, U_n называется произвольная функция r : U₁ ґ …ґ U_n ® [0,1]. Аналогично теоретико-множественным операциям определяются операции пересечения и объединения. Ограничимся рассмотрением нечетких бинарных отношений r, s О F(X ґ Y). Положим:
             (r И s)(x, y) = max(r(x, y), s(x, y)), (r З s)(x, y) = min(r(x, y), s(x, y)).
Эти операции обладают всеми свойствами операций max и min, они коммутативны, ассоциативны, дистрибутивны.
          Множество F(X ґ Y) отношений между X и Y упорядочено относительно отношения включения нечетких множеств на X ґ Y. Таким образом, r Н s тогда и только тогда, когда r(x, y) Ј s(x, y) для всех x О X и y О Y.

          Пусть r О F(X ґ Y) и s О F(Y ґ Z). Определим композицию r ° s О F(Y ґ Z) как (r ° s)(x, z) = sup{min(r(x, y), s(y, z)) : y О Y}. Имеют место соотношения:
           1) (r ° s) ° t = r ° (s ° t),
           2) r ° E_x = E_y ° r = r,
где E_x О F(X ґ X) принимает значения E_x(x, x') = 1 при x = x', в других случаях E(x, x') = 0.
          Обратное нечёткое отношение определяется как r^-1(y, x) = r(y, x), для всех x О X, y О Y.
          Нечёткое отношение r О F(X ґ Y) называется рефлексивным, если E_x Н r. Нечётким отношением эквивалентности называется E О F(X ґ X), удовлетворяющее условиям:
           1) E_x Н E (рефлексивность);
           2) E^-1 = E (симметричность);
           3) E ° E Н E (транзитивность).
          Если условие 2 заменить на условие антисимметричночти E^-1 З E Н E_x, то получим нечёткое отношение порядка.
          Заметим, что композицию можно определить с помощью произвольной треугольной нормы, полагая:
             r ° s = sup{r(x, y) Щ s(y, z) : y О Y}.
Так мы получим другие определения отношений эквивалентности и порядка.

4. Пропозициональная нечёткая логика

          Формулы пропозициональной нечёткой логики составляются из элементов множества переменных F₀ = {x₁, x₂, ...} и констант 0 (ложь) и 1 (истина) с помощью логических связок Ъ, Щ, Ш следующим образом:
           1) x_i О F₀ формулы для всех i = 1, 2, …;
           2) 0 и 1 – формулы;
           3) если g и f – формулы, то (f Щ g) и (f Ъ g) – формулы;
           4) если f – формула, то Шf – формула.
Множество всех формул обозначается через F.
          Аксиомы нечёткой пропозициональной логики:
             (F1) Ш0 = 1,
             (F2) A Щ 1 = A, A Ъ 1 = 1, A Щ 0 = 0, A Ъ 0 = A,
             (F3) Ш(A Щ B) = ШA Ъ ШB, Ш(A Ъ B) = ШA Щ ШB,
             (F4) A Щ (B Ъ C) = (A Щ B) Ъ (A Щ C), A Ъ (B Щ C) = (A Ъ B) Щ (A Ъ C),
             (F5) ШШA = A,
для всех A, B, C О F.
         Нечёткой интерпретацией называется произвольная функция t : F ® [0, 1], такая, что
             t(0) = 0, t(1) =1, t(f Щ g) = min(t(f), t(g)),
             t(f Ъ g) = max(t(f), t(g)), t(Шf) = 1 – t(f).
          Любая функция t₀ : F₀ ® [0, 1] может быть единственным образом расширена до некоторой интерпретации t : F ® [0, 1].
         Формула f О F называется нечётко общезначимой, если для любой нечёткой интерпретации t верно неравенство t(f) і 0.5. Формула f О F называется нечётко противоречивой, если для любой нечёткой интерпретации t верно неравенство: t(f) Ј 0.5.
          Например, формула x₁ Ъ Шx₁ нечётко общезначима, а x₁ Щ Шx₁ – нечётко противоречива.

      Теорема 1. Формула f О F нечётко общезначима тогда и только тогда, когда f – тавтология в исчислении высказываний K. Формула f О F нечётко противоречива тогда только тогда, когда она невыполнима в K.
         Литералом называется переменная x_i или её отрицание Шx_i. Конъюнкция литералов называется конъюнктом, дизъюнкция литералов – дизъюнктом.
          Например: x₁ Щ x₂ Щ Шx₂ – конъюнкт, Шx₁ Ъ x₃ – дизъюнкт.
          Формула f О F называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ), если f = C₁ Ъ C₂ Ъ ... Ъ C_m для некоторых конъюнктов C₁, C₂, ..., C_m. Аналогично конъюнкция D₁ Щ D₂ Щ ... Щ D_m дизъюнктов D₁, D₂, ..., D_m называется конъюнктивной нормальной формой (КНФ).
          Аксиомы пропозициональной нечёткой логики позволяют переводить любую формулу в ДНФ и в КНФ, в которых не участвуют константы 0 и 1.
         Нечёткой импликацией f Ю g называется бинарное отношение на F, означающее, что для любой нечёткой интерпретации t : F ® [0, 1] верно неравенство t(f) Ј t(g).
         Принцип резолюции
          Формула f называется содержащей дополнительные переменные, если в ней участвуют литералы x_i и Шx_i для некоторого i О w. Пусть C₁ = x_i Ъ L₁ и C₂ = Шx_i Ъ L₂ – такие высказывания, что L₁ и L₂ не содержат ни x_i, ни Шx_i в качестве сомножителя, и каждое из L₁ и не содержит дополнительных переменных. Тогда L₁ Ъ L₂ называется резольвентой C₁ и C₂ с ключевым словом x_i и обозначается: R(C₁, C₂). В обычной логике принцип резолюции:
             x Ъ L₁, Шx Ъ L₂ L₁ Ъ L₂
можно применять для доказательства теорем. Следующий пример показывает, что нечёткая импликация:

C₁ Щ C₂ Ю R(C₁, C₂)

не всегда верна.

      Пример
          C₁ = x Ъ L₁, C₂ = Шx Ъ L₂. Предположим, что при некоторой интерпретации t(x) = 0.3, t(L₁) = 0.1, t(L₂) = 0.2. Тогда t(C₁) = 0.3, t(C₂) = 0.7. Следовательно, t(C₁ Щ C₂) = 0.3. С другой стороны, t(R(C₁, C₂)) = t(L₁ Ъ L₂) = 0.2, и, значит, t(C₁ Щ C₂) > t(R(C₁, C₂)). Тем не менее, в некоторых случаях этот принцип применять можно.

      Теорема 2. Пусть C₁ и C₂ – высказывания, R(C₁, C₂) – резольвента C₁ и C₂ с ключевым словом x_i. Тогда справедливы утверждения:
           1) если t(x_i Щ Шx_i) Ј t(R(C₁, C₂)), то t(C₁, C₂) Ј t(R(C₁, C₂));
           1) если t(x_i Щ Шx_i) і t(R(C₁, C₂)), то t(C₁, C₂) і t(R(C₁, C₂)).
В частности, если R(C₁, C₂) нечётко общезначима в том смысле, что t(R(C₁, C₂)) і 0.5, то t(x_i Щ Шx_i) Ј 0.5 Ј t(R(C₁, C₂)) , и значит C₁ Щ C₂ Ю R(C₁, C₂).

Вывод с нечёткими посылками

При дедуктивном выводе можно применять два правила вывода. Первое из них мы уже рассматривали, а второе выражает принцип доказательства от противного:

(Modus Ponens),

(Modus Tollens).

Рассмотрим применение этих правил для нечёткого дедуктивного вывода.

Нечёткие переменные
          Пусть U – множество, A Н U – подмножество, элементы которого выделяются с помощью некоторого свойства, определяемого с помощью характеристической функции c_A : U ® (0, 1). Тогда высказывание: “X принимает значения во множестве A” – означает, что переменная X пробегает значения из U, и это высказывание будет принимать значения, равные c_A(X). Это высказывание записывается: “X есть A”, например, если U = w , а A – подмножество чётных чисел, то запись: “X есть чётное число” будет равносильна X О A.
        Нечёткая переменная определяется как пара, состоящая из символа переменной X, принимающей значения в U, и некоторого множества A, заданного с помощью функции m_A : U ® [0, 1]. Эта пара записывается: “X есть A”. На обычном языке X будет именем элементов универсума, а A – нечётким свойством. Например, “температура нормальная” содержит переменную “температура”, принимающую значения в универсуме температур, а “нормальная” будет их нечётким свойством.
         Рассмотрим множество составных высказываний, образованных из высказываний: “X есть A” с помощью союзов “и”, “или”, и связок “если…, то…”, “не” – следующим образом:
           1) “X есть A и Y есть B” равносильно “(X, Y) есть A З B”, с m_A О F(U), m_B О F(V), где A З B – нечёткое множество на U ґ V с функцией принадлежности m_AЗB(u, v) = (m_A(u) Щ m_B(v));
           2) “X есть A или Y есть B” равносильно “(X, Y) есть A И B”, где m_AИB(u, v) = (m_A(u) Ъ m_B(v));
           3) “если X есть A, то Y есть B” равносильно “(X, Y) есть A ® B”, где m_A®B(u, v) = (m_A(u) ® m_B(v));
           4) “X не есть A” равносильно “X есть не A”, где m_{не A}(u) = 1 - m_A(u).

Правила нечёткого вывода
Пусть Щ : [0,1] ґ [0,1] ® [0,1] – треугольная форма, и пусть импликация связана с ней следующим образом:

a ® b = sup{x О [0, 1] : a Щ x Ј b}.

Например, если a Щ b = min(a, b), то a ® b будет импликацией Геделя. Для треугольной нормы Лукасевича a Щ b = a * b = max(0, a + b +1) импликация определяется как a ® b = min(1, 1 - a + b).
Обобщённое правило Modus Ponens было предложено Л. Заде. Пусть заданы нечёткие множества A, B, A' с помощью функций: m_A О F(U), m_B О F(V), m_A' О F(U). Тогда будет справедливо правило вывода:

Если X есть A, то Y есть B

где нечёткое множество B' определяется функцией m_B' О F(V), принимающей значения: m_B' = sup{(m_A(u) ® m_B(v)) Щ m_A'(u) : u О U}.
Нечеткое множество B' можно записать также, пользуясь аналогией с произведением матриц B' = A' o (A ® B) ,и записать B' и A', как строки (вместо сложения участвует операция sup, вместо умножения – треугольная норма).
Аналогично для нечётких множеств A, B, B', заданных с помощью функций m_A О F(U), m_B О F(V), m_B' О F(V), обобщённое правило Modus Tollens определяется следующим образом:

Если X есть A, то Y есть B

Это правило выражается с помощью равенства:
m_A'(u) = sup{(m_A(u) ® m_B(v)) Щ m_B'(v) : v О V},
если импликация удовлетворяет закону контрапозиции a ® b = (1 - b) ® (1 - a). Это верно, например, для треугольной формы Лукасевича и связанной с ней импликацией.

Теги: Нечеткая логика, нечеткие операторы, применение нечёткой логики, понятия нечеткой логики, универсум, Логические операции

	Зарегистрироваться
Логин:
Пароль: