Псевдопотенциальные графы - В.Н. Бурков, Д.А. Новиков ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ


Добавил:DMT
Дата создания:4 мая 2008, 0:38
Дата обновления:4 мая 2008, 0:50
Просмотров:9674 последний ---
Комментариев: 0

3. Псевдопотенциальные графы

Полный, (я+7)-вершинный, симметричный граф называется псевдопотенциальным, если длина его любого гамильтонова кон­ тура равна одному и тому же числу. Обозначим - длины дуг.

Известно [7, 8], что для того, чтобы граф был псевдопотенци­ альным, необходимо и достаточно существование чисел

таких, что для всех а также, что

любой подграф псевдопотенциального графа является псевдопо­ тенциальным.

Будем считать, что ао = 0. Обозначим

- сумма длин первых j дуг гамильтонова контура Определим

Известно [7, 8], что существует оптимальное решение задачи

в котором сначала идут вершины в порядке возрастания

величин а затем вершины в порядке убывания величин


Для доказательства этого утверждения обозначим

- оптимальный гамильто-

нов контур (решение задачи (1)). Тогда для него имеет место сле­ дующая система неравенств:

Если для некоторого индекса выполнено

то из (2) следует справедливость соответствую­ щей системы неравенств для гамильтонова контура

Поэтому всегда существует оптималь­ ное решение, в котором сначала обходятся вершины с положи­ тельными у, а затем с отрицательными у (вершину i с y t = 0 можно отнести в любую группу).

Если , то из (2) следует справед-

ливость соответствующей системы неравенств для гамильтонова контура

Наконец, если то из (2) следует

справедливость соответствующей системы неравенств для гамиль­ тонова контура Докажем, например, последнее утверждение. Из (2) получаем, что

Но тогда тем более имеет место:

Итак, пусть - контур, являющийся реше -

нием задачи (1), то есть

Тогда (3)

Частным случаем псевдопотенциального графа является по­ тенциальный граф, у которого длина любого гамильтонова конту­ ра равна нулю 1 . В частности, потенциальный граф обладает сле­ ду 4fa ющими свойствами:

•  у потенциального графа длина любого контура равна нулю;

•  для я-вершинного потенциального графа существуют числа

такие, что

- у потенциального графа для любой вершины сумма длин за­
ходящих дуг по абсолютной величине равна сумме длин исходя­
щих дуг.

4. Задачи о максимальном потоке

Рассмотрим сеть из ( n + 1) вершины. Пусть каждой дуге по­ставлено в соответствие число cij , называемое пропускной способ­ностью дуги ( i ; j ).

Потоком x в сети называется совокупность чисел , где - поток по дуге ( i ; j ), удовлетворяющих условиям

; Потенциальный граф может рассматриваться как модель электрической сети, а его свойства как теоретико-графовые аналоги законов Кирхгофа.


Задача о максимальном потоке заключается в определении потока максимальной величины 1 .

Разрезом W в сети называется любое множество вершин, обя­ зательно содержащее выход и не содержащее вход. Пропускной способностью C ( W ) разреза W называется сумма пропускных способностей дуг, заходящих в разрез.

Известно [5, 7, 19], что величина любого потока не превышает пропускной способности любого разреза {теорема Форда- Фалкерсона ).

Следовательно, если удастся найти поток, величина которого равна пропускной способности некоторого разреза, то этот поток максимален, а разрез минимален.

Алгоритм 7 (алгоритм Форда-Фалкерсона ). Применение алго­ ритма проиллюстрируем примером сети, приведенной на рисунке 3, в которой пропускные способности всех дуг равны единице.

Шаг 0. Берем произвольный поток (например, поток x01 = Хп = x25 = 1). Помечаем начальную вершину индексом «0».

Обозначим Z - множество помеченных вершин.

Общий шаг. Первое действие. Помечаем вершину j индексом + i , если, во-первых, существует дуга ( i ; j ), и, во-вторых,

Если в результате этого типа пометок мы пометили выход, то поток можно увеличить хотя бы на единицу (если Сц - целые чис­ла). Двигаясь обратно, можно найти путь, поток по которому мож­ но увеличить. Однако, как видно из примера, этого недостаточно для нахождения максимального потока.

; Наиболее распространенной содержательной интерпретацией является перевозка грузов из начальной вершины в конечную по дугам графа, где пропуск­ ная способность дуги характеризует максимальное количество груза, которое по ней можно перевозить в единицу времени.


Рис. 3. Пои 513 ск максимального потока

Второе действие. Помечаем вершину i индексом - j , если, во-первых, существует дуга ( j ; i ), и, во-вторых, (легко видеть, что пометки первого типа увеличивают поток по дуге, а пометки второго типа - уменьшают).

Если в результате этого типа пометок мы пометили выход, то поток можно увеличить. Двигаясь обратно, можно найти цепь, в которой каждая вершина помечена номером предыдущей (знак пометки не важен).

Рассмотрим цепь \ i = (0; 3; 2; 1; 4; 5), приведенную на рисун­ке 3. Полученные в результате второго действия потоки обозначе­ ны жирным шрифтом.

Критерий остановки алгоритма следующий [7, 8]: если, при­меняя пометки обоих типов, вершину n пометить не удалось, то полученный поток имеет максимальную величину.

Поток минимальной стоимости. Предположим, что задана сеть с пропускными способностями дуг П усть также для каждой дуги ( i ; j ) заданы число интерпретируемое как затраты (напри­мер, затраты на перевозку единицы груза из вершины i в вершину j ). Задача поиска потока минимальной стоимости заключается в нахождении для заданной величины ( р суммарного потока ее рас­ пределения по дугам, минимизирующего сумму затрат. Общие методы решения задачи о потоке минимальной стоимости рас­ сматриваются в [5, 7, 19].

Частным случаем задачи о потоке минимальной стоимости яв­ляется транспортная задача, в которой имеется двудольный граф (двудольным называется граф, множество вершин которого может


быть разбито на два непересекающихся подмножества, причем ребра ( дуги) графа соединяют вершины только из разных подмно­жеств), представленный на рисунке 4: вершины сети разбиты на две группы - m поставщиков и n потребителей.

Известно [15], что граф является двудольным тогда и только тогда, когда он не содержит циклов нечетной длины, или когда в нем все простые циклы имеют четную длину {теорема Кенига).

Для поставщиков заданы имеющиеся у них количества единиц

товара (груза и 532 т.д.) а*, для потребителей - требуемые им

количества единиц товара Т акже известны затраты Sy

перевозки единицы товара от г-го поставщика у '- му потребителю.

Пусть задача является замкнутой, то есть - суммар -

Рис. 4. Транспортная задача

ное предложение равно суммарному спросу (вводя фиктивного поставщика или фиктивного потребителя любую незамкнутую задачу можно свести к замкнутой ). Требуется определить потоки товаров от потребителей к поставщикам, минимизирующие сум­ марные затраты.


Формально транспортную задачу можно записать в виде:

Добавляя к двудольному графу вход «0» и выход « z » и соеди­ няя вход и выход с остальными вершинами дугами с потоком

получаем задачу о потоке мини­ мальной стоимости. Алгоритмы решения транспортной и двойст­венной к ней задач описаны в [7, 12].

Частным случаем транспортной задачи является задача о на­ значении, заключающаяся в следующем: имеются n человек (ра­ботников), которые могут выполнять различные работы (занимать различные должности), число работ равно числу работников (введя фиктивные должности и/или фиктивные работы, всегда можно незамкнутую задачу привести к рассматриваемой замкнутой фор­ ме). Известны затраты на назначение г-го работника на у-ю должность (например, минимальная зарплата, за которую он согла­ сится работать на этой должности). Требуется найти назначение работников на должности (каждого работника на одну и только одну должность), минимизирующее суммарные затраты (если интерпретируется как эффективность от работы г-го работника на у-ой должности, то оптимальное назначение должно максимизиро­ вать суммарную эффективность).

Формально задачу о назначении можно записать в виде (ср. с (1)-(3)):


Известны множество методов решения задачи о назначении [7, 12]. Рассмотрим один из них на следующем примере.

Пусть имеются n = 3 работника и столько же работ. Матрица

1 2 3 затрат имеет вид: 2 4 7.

5 3 8

Алгоритм 8.

Шаг 0. Назначаем каждого человека на самую дешевую для него работу (назначение выделено на рисунке 5 тонкими дугами),

0 Г 1 , если s ij = min s ik

то есть положим х и = < * . Если при этом

[0, в противном случае

назначение является допустимым (то есть все работы выполняют­ ся), то решение получено. Если имеется «дисбаланс», то есть не

и

все работы выполняются (3/?: V * х у > 1), то переходим к сле- дующему шагу.

Шаг k . Введем два подмножества множества дуг: P 1 = {( i ; j ) | Ху = 1}, P2 = {( i ; j ) | Ху = 0}. Примем множество вершин-работ, на которых назначено несколько работников за вход сети, множество вершин-работ, которые не выполняются - за выход сети. Изменим направления дуг из множества P 1 на обратные и примем их длины


равными (- s ij ), длины дуг из множества P2 примем равными sij . Найдем путь fjt минимальной длины в полученной сети (потенциа­лы вершин, вычисляемые при нахождении кратчайшего пути в рассматриваемом примере, приведены в квадратных скобках).

JC * = K" 1 ' если ( i ; j) * А ** Ху \l-x*-\ eam ( i;j ) en k '

к Ur \ если ( i ; j )* n k
Далее полагаем х « =¦{,_, . ¦

3 [1-хр, если (г; у) е/

В результате в рассматриваемом примере за один шаг получим оптимальное назначение, отличающееся от найденного на нулевом шаге тем, что первому работнику назначается третья работа (см. дугу, обозначенную двойными линиями на рисунке 5).

На каждом шаге число «дисбалансов» уменьшается на едини­ цу. Следовательно, число шагов алгоритма не превышает числа «дисбалансов», которое конечно.

Аналогичным способом можно решить любую транспортную задачу (искать кратчайший путь из множества вершин, в которые доставили товара больше, чем требуется, во множество вершин, где товара не хватает).

Решение общего случая задачи о потоке минимальной стоимо­ сти основывается на рассмотрении двойственной задачи [7, 12].

5. Задачи калспдарпо-сстсвого планирования и управления

Рассмотрим проект, состоящий из набора операций (работ). Технологическая зависимость между операциями задается в виде сети {сетевого графика). При этом дуги сети соответствуют опе­ рациям, а вершины - событиям (моментам окончания одной или нескольких операций). Для каждой операции ( i ; j ) задана ее про­должительность tij . Методы описания и исследования сетевых графиков изучаются в теории календарно-сетевого планирования и управления (КСПУ) [2, 3, 7, 8, 10, 11, 16].

Задача определения продолжительности проекта (управле­ ние временем). Легко видеть, что продолжительность проекта определяется путем максимальной длины, называемым критиче­ским путем. Методы поиска пути максимальной длины описаны выше. Критический путь в сети на рисунке 6 выделен двойными дугами и равен 16.


Рис. 6. Поиск критического пути

Операции, принадлежащие критическому пути, называются критическими. Остальные (некритические) операции имеют резерв времени, характеризуемый максимальной задержкой операции, при которой продолжительность проекта не изменяется. Критические операции имеют нулевой резерв. Приведем соответствующие формулы.

Алгоритм 9. Предположим, что выполнение комплекса опера­ ций (проекта) начинается в нулевой момент времени. Обозначим Q 0 - множество событий, не требующих выполнения ни одной из операций, то есть входы сети с правильной нумерацией; Q i - мно­жество событий, непосредственно предшествующих событию i , то есть множество вершину сети, для которых существует дуга ( j ; i ).

Положим

(1)

Величина tj называется ранним моментом {временем) свер­ шения г - ro события и характеризует время, раньше которого это событие произойти не может. Длина критического пути

(2)

определяется ранним временем свершения конечного события, то есть события, заключающегося в завершении всех операций.

Поздним моментом свершения события называется мак­ симальное время его наступления, не изменяющее продолжитель­ности проекта. Обозначим R i - множество событий, непосредст -


венно следующих за событием i , то есть множество вершину сети, для которых существует дуга ( i ; j ). Вычислим для каждой верши­ны-события i длину l i максимального пути от этой вершины до выхода сети - события, заключающегося в завершении всего ком­ плекса операций:

(3)

Положим

Для завершения проекта за время T необходимо и достаточно, чтобы событие i произошло не позднее момента

Полным резервом At t события i называется разность между его поздним и ранним моментами свершения, то есть

(4)

Очевидно, полный резерв критических событий (событий, принад­ лежащих критическому пути) равен нулю.

Рис. 7. Представление «операции-вершины» для сети рисунка 6

Задачи распределения ресурса на сетях удобно рассматри­ вать, изображая операции вершинами сети, а зависимости - дугами (представления «операции-дуги, события-вершины» и «зависимо­сти-дуги, операции-вершины» эквивалентны [10]). Пунктиром могут быть отражены ресурсные зависимости - когда для выпол­нения одних и тех же операций должны быть использованы одни и те же ресурсы. Примером могут являться сети, изображенные на рисунках 6 и 7. Полным резервом операции ( i ; j ) называется вели­ чина - поздний срок начала (окончания) опе­рации, а - ранний срок начала (окончания) операции.


Для определения оптимального распределения ресурса необ­ ходимо найти критические пути для каждого из вариантов распре­ деления ресурса и сравнить длины этих путей (в сети, приведенной на рисунке 7, существует общий для операций «0-1» и «0-2» ре­сурс; потенциалы вершин, соответствующие различным способам использования этого ресурса - сначала выполняется операция «0-1», затем «0-2» и наоборот, приведены на рисунке 7 соответствен­ но в квадратных скобках и без скобок).

Универсальных эффективных точных методов решения задач распределения ресурсов на сетях не существует. В качестве част­ ного случая, для которого существует простой алгоритм, приведем следующий пример.

В сети, изображенной на рисунке 8, для трех операций извест­ ны поздние времена окончания т ,. Требуется определить очеред­ ность выполнения этих трех операций при условии, что все опера­ ции выполняются одной единицей ресурса и поэтому не могут выполняться одновременно.

Рис. 8. Пример распределения ресурса

Легко показать, что в рассматриваемом примере оптимально выполнять первой операцию с минимальным т,.

Если для выполнения проекта выделено ограниченное количе­ ство ресурса, то возникает задача наилучшего его использования. Обозначим w i - объем г-ой операции, - скорость ее выполне­ния в зависимости от количества ресурса v i . Предположим, что_^ (-) - непрерывная справа неубывающая функция, причем Е сли v i ( t ) - количество ресурса на г-ой операции в момент времени


t , то момент ti ее окончания определяется как минимальное время, удовлетворяющее уравнению:

(5)

Если количество ресурса, используемое при выполнении неко­ торой операции, не изменяется во времени, то говорят, что она выполняется с постоянной интенсивностью. Тогда продолжи­тельность операции определяется выражением

(6) t i ( v i ) = w i / fi ( v i ).

В настоящее время общих алгоритмов поиска распределения ограниченных ресурсов между операциями, минимизирующего время завершения проекта, не существует. Поэтому рассмотрим несколько частных случаев.

Пусть все операции независимы и выполняются ресурсом од­ного вида, количество которого равно R , a f i ( v i ) - непрерывные строго монотонные вогнутые функции. Тогда существует опти­мальное решение, в котором каждая операция выполняется с по­ стоянной интенсивностью и все операции заканчиваются одновре­ менно в момент времени T, определяемый как минимальное время, удовлетворяющее следующему неравенству:

(7)

где - функция, обратная функции[7,10].

Эвристические алгоритмы определения оптимального распре­ деления ресурса для ряда случаев «невогнутых» функций интен­ сивности рассматриваются в [1-4].

Обширный класс задач КСПУ составляют задачи агрегирова­ния - представления комплекса операций (проекта) в виде одной операции и исследования свойств таких представлений, для кото­ рых оптимизация в рамках агрегированного описания дает реше­ ние, оптимальное для исходного (детального) описания. Основные подходы к постановке и решению задач агрегирования рассматри­ваются в [1,2, 10, 16].


Литература

•  Баркалов С.А., Бурков В.Н., Новиков Д.А., Шульженко Н.А. Модели и меха­
низмы в управлении организационными системами. М.: Издательство «Тульский
полиграфист», 2003. Том 1. - 560 с, Том 2 - 380 с, Том 3 - 205 с .

•  Баркалов С.А., Бурков В.Н., Гилязов Н.М. Методы агрегирования в управле ­
нии проектами. М.: ИЛУ РАН, 1999. - 55 с .

•  Баркалов С.А., Бурков В.Н. Минимизация упущенной выгоды в задачах
управления проектами. М.: ИЛУ РАН, 2001. — 56 с .

•  Баркалов С.А., Бурков В.Н., Курочка П.Н., Образцов Н.Н. Задачи управления
материально-техническим снабжением в рыночной экономике. М.: ИЛУ РАН,
2000. - 58 с .

•  Берж К. Теория графов и ее применения. М.: Иностранная литература, 1962. —
319 с .

•  Бурков В.Н., Багатурова О.С., Иванова СИ. Оптимизация обменных производ ­
ственных схем в условиях нестабильной экономики. М.: ИЛУ РАН, 1996. — 48 с .

•  Бурков В.Н., Горгидзе И.А., Ловецкий СЕ. Прикладные задачи теории графов.
Тбилиси: Мецниереба , 1974. — 234 с.

•  Бурков В.Н., Заложнев А.Ю., Новиков Д.А. Теория графов в управлении
организационными системами. М.: Синтег , 2001. — 124 с.

•  Бурков В.Н., Зинченко В.Н., Сочнев СВ., Хулап Г.С Механизмы обмена в
экономике переходного периода. М.: ИЛУ РАН, 1999. - 70 с .

•  Бурков В.Н., Ланда Б.Д., Ловецкий СБ., Тейман А.И., Чернышев В.Н. Сетевые
модели и задачи управления. М.: Советское радио, 1967. - 144 с .

•  Бурков В.Н., Новиков Д. А. Как управлять проектами. М.: Синтег , 1997. — 188 с.

•  Вагнер Г. Основы исследования операций. М.: Мир, 1972. Т. 1—4.

•  Воронин А.А., Мишин СП. Оптимальн ые ие рархические структуры. М.: ИЛУ
РАН, 2003.-210 с .

•  Егоршин А.П. Управление персоналом. Н. Новгород: НИМБ, 1997. — 607 с .

•  Емеличев В.А ,, Мельников О.И., Сарванов В.И., Тышкевич Р.И. Лекции по
теории графов. М.: Наука, 1990. - 384 с .

•  Колосова Е.В., Новиков Д.А., Цветков А.В. Методика освоенного объема в
оперативном управлении проектами. М.: Апостроф, 2001. — 156 с .

•  Коргин Н.А. Механизмы обмена в активных системах. М.: ИЛУ РАН, 2003.

•  Новиков Д. А. Сетевые структуры и организационные системы. М.: ИЛУ РАН,
2003. - 102 с .

•  Оре О. Теория графов. М.: Наука, 1968. - 352 с .

up