Вопрос 10. Основные понятия теории нечетких множеств: нечеткое множество, функция принадлежности, значения истинности. Понятие нечеткого числа. Сложить два нечетких числа «около 2» и «приблизительно 3».

Когда мы говорим «старик», то не ясно, что мы имеем в виду: больше 50? больше 60? больше 70? Одним из методов изучения множеств без уточнения их границ является теория нечетких множеств, которая была предложена Заде в 1965 г . и продолжает развиваться.

В теории нечетких множеств большинство ситуаций оценивается приблизительно, а не точно. Необходимость такого подхода вызвана тем, что по мере роста сложности систем, наша неспособность делать точные и, в то же время, значащие утверждения относительно ее поведения. Было предложение ввести специальные обозначения (метки), определяющие более – менее нечеткие понятия и использующие эти метки в последующих рассуждениях.

Обозначения нечетких множеств и функция принадлежности

Пусть U полное множество, охватывающее всю проблемную область.

Нечеткое (под) множество F множества U опре­деляется через функцию принадлежности ( u элемент множества U ). Эта функция отображает эле­менты u множества U на множество чисел в отрезке [0, 1], которые указывают степень принадлежности каждого элемента нечеткому множеству F .

Если полное множество U состоит из конечного числа множеств u 1 , u 2 , … u n , то нечеткое множество F можно представить в следующем виде;

(6.21)

(Обратите внимание, что в данном случае знак «+» не есть сложение, а скорее обозначает совокуп­ность элементов множества (знаменатель) с их при­надлежностью (числитель). Следовательно, знак и указанный ниже знак интеграла имеют несколько отличный от традиционного смысл.)

В случае непрерывного множества U можно вве­сти следующее обозначение:

(6.22)

Например, пусть полное множество — это множе­ство людей в возрасте 0—100 лет, функции принад­лежности нечетких множеств, означающих возраста «молодой», «средний», «старый» можно определить так, как на рис. 48. При записи через 10 лет полу­чим приблизительно следующее:

молодой = m молодой ( u ) = 1/0 + 1/10 + 0,8/20 + 0,3/30,

средний = m средний ( u ) = 0,5/30 +1/40 + 0,5/50,

старый = m c тарый ( u ) =0,4/50 + 0,8/60 + 1/70 + 1/80 + 1/90.

(Вновь обратите внимание, что члены с принадлежностью 0 не записываются. Например, в множе­стве ( m молодой ( u ) не записаны 0/40 + 0/50.)

Определение 1 : U – универсальное множество, которое может быть произвольным набором объектов и математических конструкций.

Определение 2: Если А конечное подмножество U с элементами u 1 , u 2 , ..., u n , то запишем A = {u 1 , u 2 , ..., u n }.

Определение 3: Конечное размытое подмножество A из U – это множество вида: A = {u i , m A (u i )}, u i I U , где m A (u i ) определяет меру членства (функцию эквивалентности), которая указывает предполагаемую степень эквивалентности элемента этому членству.

Определение 4: Если m A (u i ) I {0, 1}, то множество становится “четким”, а m A (u i ) превращается в булеву функцию.

Определение 5: Если [0, 1] U m A (u i ) = 0 – элемент u i не принадлежит множеству; если m A (u i ) = 1 - u i принадлежит U; если 0 < m A (u i ) < 1, m A (u i ) определяет степень принадлежности u i множеству U , а А – нечеткое множество.

Определение 6:

Пример: Определение понятия “высокий”.

Значение функции эквивалентности определяется экспертом. У какого – либо эксперта эта функция может иметь различный вид. Один считает, что она симметрична (равнобедренный треугольник); другой – равнобедренная трапеция; третий – фигура неправильной формы. В этом принцип отличия от функции распределения в теории вероятности.

Определение 7 : Функция m A ( u i ) – функция, определяющая субъективное мнение специалиста, в то время как функция распределения случайной величины или закон Байеса – это выражение объективной закономерности, независимой от отношения специалиста к этой закономерности.

Операции над нечеткими множествами и числами.

Наиболее распространенными являются операции:

1. Дополнение множества

(6.23)

(или

2. Объединение множеств

(6.24)

(или , здесь \/ — знак опера­ции взятия максимума).

3. Пересечение множеств

(6.25)

(или , здесь /\ — знак операции взятия минимума).

Например, для нечетких множеств «молодой» и «средний» получим

(молодой U средний) = ,

(молодой ? средний) =

•  Степень нечетких множеств

(6.26)

А 2 – сужает диапазон определения, поэтому А 2 – “более чем”.

А 1/2 – расширяет диапазон определения, поэтому А 1/2 – “почти что”.

А 4 и А 1/4 ; А 4 – “более чем более чем”.

Пример: Пусть множество А задано таблицей

A 1

А 2

Пример: сложение чисел «около 2» и «приблизительно 3».

Пример : Пусть даны следующие размытые числа: M – “около 2” , N – “приблизительно 3” .

Рассмотрим пример получения m M + N ( z i ) при z = 5

Чтобы получить z = 6, возможны варианты сочетаний x и y :

Аналогично вычисляются значения m M + N ( z i ) для других значений z i = x i + y i :

Результат вычислений можно интерпретировать как «около 5»