Вопрос 8. Нечеткая и вероятностная логики: основные свойства, достоинства и недостатки. Привести пример, демонстрирующий основное отличие нечеткой и вероятностной логик.

Нечеткая логика

Нечеткая логика, выделившаяся из теории нечет­ких множеств, — это разновидность непрерывной ло­гики, в которой логические формулы могут принимать истинностные значения между 1 и 0.

В нечеткой логике достоверность представляется как истинностное значение между 1 и 0, и значения, приписанные правилам на рис. 6.8, это и есть истин­ностные значения (вероятность определяется в стати­стическом смысле, и в отличие от нее истинностное значение это некоторое произвольное субъективное значение, не имеющее никакого статистического смыс­ла). Пусть t x и t y —истинностные значения предпосы­лок Х и Y некоторого правила, тогда истинностное значение t предпосылки в случае связей И и ИЛИ на рис. 40, а, б определяется следующим образом.

1. При связи И

t предпосылки = min { t x , t y }. (6.18)

2. При связи ИЛИ

t предпосылки = max { t x , t y }. (6.19)

Если в общем случае t правила есть истинностное значение, приписанное правилу, то истинностное значение t A , распределенное на вывод, определяется как

t A = min { t предпосылки , t правила ). (6.20)

Определение минимума — это идея, свойственная не­четкой логике и отличающая ее от других методов (в которых производится умножение). Связь КОМБ на рис. 40. особо не оговаривается. В качестве такой связи можно рассматривать одну из связей И или ИЛИ. Собственно говоря, в нечеткой логике и нечет­ких выводах рассматривается случай, когда множе­ства X, Y , А и другие, описанные в предпосылках и выводах правил, суть нечеткие множества.

Вероятностная логика

Нильсон предложил идею расширения логики и ввел понятие вероятностной логики, в которой всем логическим формулам приписывается вероятность. Здесь вероятность вновь соответствует законам Байеса. Связь логики и вероятности важна также с точки зрения рационального построения новой теории на ос­нове теории логического моделирования. И хотя эта' теория еще не доведена до использования на уровне вычислений, ознакомимся с ней на простых примерах.

Рассмотрим три логических формулы в логике вы­сказываний: А , А E В , В. Представим следующие вертикальные векторы

1 2 3 4

где 1 — мир истинности А, А E В, В,

2 — мир истинности А и лжи А E В, В,

3 — мир лжи А и истинности А E В, В,

4 — мир лжи А, В и истинности А E В.

А именно, 1 и 0 обозначают истину и ложь высказы­вания А в первой строке вертикальной векторов, А E В во второй строке и В в третьей строке. Эти три логиче­ские формулы подобраны так, что возможны только четыре указанных выше случая (когда нет противоречия). Это так называемые возможные миры (миры с возможностью интерпретации). Все другие миры— например А, А E В истина, В ложь — это миры, со­держащие противоречие.

Если выбрать один из возможных миров, то обра­зуется традиционная двузначная логика. В вероят­ностной логике рассматриваются состояния, когда одновременно с некоторой вероятностью могут суще­ствовать несколько возможных миров. Например, пусть вероятность, с которой возможна интерпретация в мире 1, равна 0,4, а вероятности интерпретации в мирах 2,3,4 соответственно равны 0,3, 0,2, 0,1 (сум­ма вероятностей возможных миров равна 1), тогда представим следующим образом вектор вероятностей возможных миров

И наоборот, если существует группа логических формул, каждой из которых приписана некоторая ве­роятность, то эту группу можно считать упорядочен­ной (непротиворечивой), только когда возможно ве­роятностное существование соответствующих возмож­ных миров. Если построить матрицу М , элементами которой служат вертикальные векторы, представляющие воз­можные миры, то с помощью матричной операции МР = V можно вычислить вероятности выбора каж­дой логической формулы. В данном примере

А именно, эти вероятностные возможные миры имеют состояние «истина» с вероятностью 0,7 ( А ), 0,7 ,( А E В ) и 0,6 ( В ).

Пусть задана вероятность А р ( А ) и вероятность А E В р ( А E В ), тогда вероятность В р ( В ) должна находиться в диапазоне

Таким образом, можно определить логический вывод (с вероятностью).

Различие нечеткой и вероятностной логики.

Пример: действие сложить 1 + 1. В вероятностной логике есть вероятность, что сложение будет означать арифметическую операцию, а не иметь другой смысл (родитель + родитель равно ребенок). Вероятность арифметической операции с исходом 2 равна 0,99, а отображения связи родитель+родитель=ребенок равна 0,01, но это статистическая величина, не зависящая от какого-либо субъективного мнения. При сложении 1+1 в нечеткой логике значениям 1 и 1 будет присвоены субъективные истинностные значения. Формула всегда работает однозначно, но результат тоже имеет истинностное значение на интервале [0 1].